Dalam logika matematika, dikenal kata hubung dan “ ˄ ”, atau “ v ”, jika maka “ => ”, serta jika dan hanya jika “ <=> “. Kata hubung tersebut digunakan untuk menyusun suatu pernyataan baru dari gabungan antar pernyataan tunggal. Pernyataan baru yang dihasilkan dengan cara penggabungan pernyataan-pernyataan tunggal disebut sebagai pernyataan majemuk.
Pengertian Negasi
Negasi
disebut juga sebagai ingkaran merupakan suatu penyangkalan dari suatu
pernyataan, atau pernyataan yang menyangkal pernyataan lain. Dimana
simbol pada negasi yang biasa digunakan dalam logika matematika adalah “
~ ”. Apabila kalian mempunyai suatu pernyataan yang bernilai Benar,
maka negasi dari pernyataan tersebut akan berubah menjadi bernilai
Salah, begitu sebaliknya jika kalian mempunyai suatu pernyataan yang
bernilai Salah, maka negasi dari pernyataan tersebut akan berubah menjadi bernilai Benar. Untuk pernyataan salah dapat ditambahkan kata
tidak, bukan atau tidak benar. Negasi dari pernyataan p disimbolkan ~p
| p | ~p |
|---|---|
| B | S |
| S | B |
Contoh :
Tentukan negasi dari pernyataan berikut:
- Rama tidak memakai kaca mata
- 2 x 5 = 7
- Gajah mempunyai gading besar
- 3 adalah bilangan genap
Jawaban negasi dari contoh diatas yaitu:
- Rama memakai kaca mata
- 2 x 5 ≠ 7
- Tidak benar gajah mempunyai gading besar
- 3 bukan bilangan genap.
Kuantor universal, biasanya kuantor universal terdiri dari kalimat yang mengandung semua, setiap, untuk semua dan untuk setiap.
Contoh : Semua mahasiswa Universitas Pamulang membawa kendaraan roda dua.
Kuantor eksistensial, pada kuantor eksistensial terdiri dari kalimat yang mengandung terdapat, ada, beberapa, sekurang-kurangnya satu.
Contoh : Beberapa mahasiswa Universitas Pamulang membawa kendaraan roda dua.
Artinya jika ada kalimat kuantor universal, maka negasinya adalah kuantor eksistensial, begitu juga sebaliknya. Untuk lebih jelasnya dapat lihat tabel dibawah ini:
Tabel Negasi Kalimat Berkuantor
| p | ~p |
|---|---|
| Semua.... | Tidak semua/setiap.... |
| Setiap.... | Beberapa....tidak/bukan.... |
| Untuk semua.... | Ada....tidak/bukan.... |
| Untuk setiap.... | Terdapat....tidak/bukan |
| Terdapat... Ada.... Beberapa Sekurang-kurangnya | Semua....tidak/bukan |
= ≠ < > |
≠ = ≥ ≤ |
Contoh :
Tentukan negasi dari pernyataan berikut:
- Semua mahasiswa Universitas Pamulang membawa kendaraan roda dua.
- Beberapa bilangan ganjil habis dibagi tiga.
- 7 > 5
- Ada bilangan prima yang tidak ganjil
- 8 ≤ 10
- Tidak semua mahasiswa Universitas Pamulang membawa kendaraan roda dua. / Setiap mahasiswa Universitas Pamulang membawa kendaraan roda dua / Beberapa mahasiswa Universitas Pamulang tidak membawa kendaraan roda dua.
c. 7 ≤ 5
d. Semua bilangan prima ganjil
e. 8 > 10
Pengertian Konjungsi (“dan”)
Pernahkah anda membuat pernyataan gabungan dari pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “dan”? Jika pernah itu artinya anda membuat pernyataan atau kalimat majemuk dengan konjungsi. Pada logika matematika konjungsi dinotasikan dengan “^”, sedangkan cara membacanya adalah “dan”. Dua buah pernyataan tersebut dapat kalian lambangkan dengan p dan q. Pernyataan-pernyataan tunggal p dan q dapat dibentuk menjadi pernyataan majemuk “p dan q” dimana pada notasinya ditulis “p ^ q” . Selain kata penghubung “dan”, konjungsi juga dapat menggunakan kata penghubung seperti “meskipun, tetapi, sedangkan, yang, juga, walaupun”.
Jika p dan q adalah pernyataan-pernyataan yang bernilai benar, maka “p ^ q” akan bernilai benar, akan tetapi jika p atau q atau keduanya bernilai salah, maka “p ^ q” akan bernilai salah.
Kesimpulannya : Konjungsi bernilai benar hanya jika pernyataan tunggalnya bernilai benar
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dari tabel kebenaran dibawah ini:
Tabel Kebenaran Konjungsi
| p | q | p ^ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Contoh :
Tentukanlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan berikut:
- p : Yeni adalah siswa yang rajin
q : Yeni adalah siswa yang baik.
- p : 2 + 5 = 7
q : 2 + 3 > 7
Jawaban konjungsi dari contoh diatas adalah:
- p ^ q : Yeni adalah siswa yang rajin dan baik. (Benar)
B ^ B = B
- p ^ q : 2 + 5 = 7 dan 2 + 3 > 7 (Salah)
B ^ S = S
Pengertian Disjungsi (“atau”)
Sebagai permisalan, coba kalian perhatikan kalimat berikut “Hari ini Frederika berencana untuk liburan ke puncak atau mengunjungi neneknya di Bogor". Bagaimana kalian menafsirkan kalimat di atas? Jika kalian baca kembali kalimat diatas maka, akan timbul beberapa penafsiran yaitu:
- Hari ini Frederika liburan ke puncak, atau hari ini Frederika mengunjungi neneknya di Bogor. Tetapi ternyata tidak kedua-keduanya.
- Hari ini Frederika liburan ke puncak, atau hari ini Frederika mengunjungi neneknya di Bogor. Mungkin bisa kedua-keduanya dilakukan oleh Frederika.
Jika pernyataan semula benar, maka keduanya dari tafsiran pertama atau kedua adalah benar (untuk disjungsi inklusif), mungkin benar salah satu (untuk disjungsi eksklusif), dan sebaliknya. Lebih dari itu, jika pernyataan semula salah, maka kedua tafsiran itu tentu salah (untuk disjungsi inklusif dan eksklusif). Berdasarkan pengertian di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan ”atau” merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula. Pernyataan-pertanyataan tunggal p dan q dapat dibentuk menjadi pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Jika pada pernyataan p dan q merupakan disjungsi inklusif maka notasinya adalah “p ˅ q”. Sedangkan jika pada pernyataan p dan q merupakan disjungsi eksklusif maka notasinya adalah “p ⊕ q”
* Disjungsi Inklusif (p ˅ q)
Disjungsi berupa pernyataan majemuk di mana dua proposisinya dibandingkan dengan kata “atau”. Proposisi yang pertama biasanya dilambangkan dengan “p” dan proposisi kedua dilambangkan dengan “q”. Dilansir dari Philosophy Pages, disjungsi inklusif bernilai benar jika salah satu atau kedua proposisinya bernilai benar. Adapun, disjungsi inklusif akan bernilai salah hanya jika kedua proposisinya bernilai salah. Pada pernyataan p dan q merupakan disjungsi inklusif maka notasinya adalah “p ˅ q”. Perhatikan tabel kebenaran disjungsi eksklusif berikut:
Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif
| p | q | p ˅ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh :
Tentukanlah disjungsi inklusif dari pernyataan-pernyataan berikut:
- p : Leslay membawa pulpen
q : Leslay membawa pensil
- p : Hewan amfibi dapat hidup di air
q : Hewan amfibi tidak dapat hidup di darat.
Jawaban disjungsi inklusif pada contoh diatas adalah:
- p ˅ q : Leslay membawa pulpen atau pensil. (Benar)
B ˅ B = B
- p ˅ q : Hewan amfibi dapat hidup di air atau tidak dapat hidup di darat.(Benar)
B ˅ S = B
* Disjungsi Eksklusif (p ⊕ q)
Jenis disjungsi yang kedua adalah disjungsi ekslusif. Dilansir dari Oxford Reference, disjungsi eksklusif hanya bernilai benar jika salah satu proposisinya saja yang benar. Adapun, disjungsi eksklusif akan bernilai salah jika kedua proposisi benilai benar atau bernilai salah. Hal tersebut dikarenakan
salah satu proposisi dalam disjungsi eksklusif tidak benar. pada pernyataan p dan q merupakan disjungsi eksklusif maka notasinya adalah “p ⊕ q”. Untuk lebih memudahkan dalam membedakannya perhatikan tabel kebenaran di bawah ini:
Tabel Kebenaran Disjungsi Eksklusif
| p | q | p ⊕ q |
|---|---|---|
| B | B | S |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh :
- p : Rendy dapat memilih masuk ke SMA.
q : Rendy dapat memilih masuk ke SMK.
- p : Angka dua adalah bilangan genap.
q : Angka dua bukan bilangan ganjil.
Jawaban disjungsi Eksklusif pada contoh soal 7 adalah:
- p ⊕ q : Rendy dapat memilih masuk ke SMA atau SMK. (Salah)
B ⊕ B = S
- p ⊕ q : Angka dua adalah bilangan genap atau bukan bilangan ganjil. (Benar)
B ⊕ S = B
